🟪 שני ריבועים מנקודת הפיתול

שאלון 0355712026חורף תשפ"ושאלה 8

נתונה הפונקצייה f(x) = kx³ − 3x² + 8kx, המוגדרת לכל x.

k הוא פרמטר שונה מ־ 0.

הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקצייה f(x).

א. הביעו באמצעות k את שיעורי הנקודה A.

נתון כי הנקודה A נמצאת ברביע הראשון.

ב. מצאו את תחום הערכים האפשרי של k.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה־ x החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה־ y החותך אותו בנקודה C.

נתון ריבוע I שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AB, וריבוע II שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AC.

ג. מצאו את הערך של k שבעבורו סכום שטחי הריבועים I ו־ II הוא מינימלי (תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם).

📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)

🎛️ יישומון: שני הריבועים מנקודת הפיתול

הזיזו את הפרמטר k. הגרף משתנה, נקודת הפיתול A(1/k, 8 − 2/k²) זזה, ואיתה שני הריבועים. מתי סכום השטחים מינימלי?

✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)

א. f′(x) = 3kx² − 6x + 8k , f″(x) = 6kx − 6 = 0 ⇒ x = 1/k (f″ מחליפה סימן, לכן נקודת פיתול).

f(1/k) = 1/k² − 3/k² + 8 = 8 − 2/k² ⇒ A(1/k , 8 − 2/k²)

ב. ברביע הראשון: 1/k > 0 ⇒ k > 0 , וגם 8 − 2/k² > 0 ⇒ k² > 1/4.

k > 1/2

ג. AB = 8 − 2/k² (המרחק מציר ה־x), AC = 1/k (המרחק מציר ה־y).

S(k) = (8 − 2/k²)² + 1/k²

נציב u = 1/k² (0 < u < 4):

S = (8 − 2u)² + u , dS/du = −4(8 − 2u) + 1 = 0 ⇒ u = 31/8

k = √(8/31) = 2√2/√31 ≈ 0.508 , S_min = (1/4)² + 31/8 = 63/16 ≈ 3.94

תשובות:

• א. A(1/k, 8 − 2/k²)

• ב. k > ½

• ג. k = √(8/31) ≈ 0.508

מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך