🌙 מלבן בחצי מעגל וריבוע

שאלון 0355712025קיץ תשפ"ה מועד בשאלה 8

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) = √(R² − x²), R הוא פרמטר חיובי.

פונקצייה f(x) מוגדרת בתחום −R ≤ x ≤ R.

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקצייה f(x) ברביע הראשון.

דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה־ x וחותך את גרף הפונקצייה f(x) בנקודה נוספת B.

הנקודות C ו־ D נמצאות על ציר ה־ x כך שנוצר מלבן ABCD.

הנקודה F היא נקודת החיתוך של הצלע AB עם ציר ה־ y.

הנקודה E היא נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־ y.

נתון ריבוע שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע EF.

נסמן ב־ t את שיעור ה־ x של הנקודה A.

א. (1) הביעו באמצעות R ו־ t את אורך הקטע EF.

(2) הביעו באמצעות R ו־ t את היקף המלבן ABCD.

ב. הביעו באמצעות R את הערך של t שבעבורו ההפרש בין היקף המלבן ABCD לבין היקף הריבוע הוא מקסימלי.

📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)

🎛️ יישומון: מלבן בחצי מעגל וריבוע מעליו

הזיזו את t (שיעור ה־x של A) ואת הרדיוס R. צלע הריבוע היא EF.

✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)

A = (t, √(R² − t²)) , B = (−t, √(R² − t²)) , F = (0, √(R² − t²)) , E = (0, R).

א. (1)

EF = R − √(R² − t²)

(2) אורך המלבן 2t ורוחבו √(R² − t²):

P_ABCD = 4t + 2√(R² − t²)

ב. היקף הריבוע 4·EF:

H(t) = 4t + 2√(R² − t²) − 4R + 4√(R² − t²) = 4t + 6√(R² − t²) − 4R

H'(t) = 4 − 6t/√(R² − t²) = 0 ⇒ 2√(R² − t²) = 3t ⇒ 4R² = 13t²

t = 2R/√13 ≈ 0.555R

H′ חיובית לפני ושלילית אחרי, לכן מקסימום.

תשובות:

• א. EF = R − √(R² − t²) , P = 4t + 2√(R² − t²)

• ב. t = 2R/√13

מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך