🔻 משולש ADB מתחת למשיק

שאלון 0355712025קיץ תשפ"ה מועד אשאלה 8

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) = a/(x − 1)² + 9.

הפונקצייה f(x) מוגדרת בתחום x ≠ 1. a הוא פרמטר חיובי.

א. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x).

הנקודה C נמצאת על גרף הפונקצייה f(x), ושיעור ה־ x שלה הוא 2.

דרך הנקודה C העבירו משיק לגרף הפונקצייה f(x).

ב. הביעו באמצעות a את משוואת המשיק.

המשיק חותך את ציר ה־ x בנקודה A ואת הישר x = 1 בנקודה B.

D היא נקודה ששיעוריה הם (1, 0).

ג. הביעו באמצעות a את שטח המשולש ADB.

ד. מצאו את הערך של a שבעבורו שטח המשולש ADB הוא מינימלי.

📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)

🎛️ יישומון: המשולש ADB מתחת למשיק ב־C

הפעם הפרמטר a הוא המשתנה! הזיזו את a: הגרף משתנה, וגם המשיק בנקודה C(2, a + 9) והמשולש ADB.

✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)

א. אסימפטוטה אנכית x = 1, אסימפטוטה אופקית y = 9.

ב. f′(x) = −2a/(x − 1)³ ⇒ f′(2) = −2a , C = (2, a + 9):

y = −2a(x − 2) + a + 9 = −2ax + 5a + 9

ג. A (y = 0): x = (5a + 9)/(2a). B (x = 1): y = 3a + 9. D = (1, 0).

DA = (5a + 9)/(2a) − 1 = (3a + 9)/(2a) , DB = 3a + 9

S(a) = ½·DA·DB = (3a + 9)²/(4a)

ד.

S'(a) = [2·3(3a + 9)·4a − 4(3a + 9)²]/(16a²) = (3a + 9)(3a − 9)/(4a²) = 0 ⇒ a = 3

S′ שלילית לפני 3 וחיובית אחרי, לכן מינימום: S(3) = 18²/12 = 27.

תשובות:

• ב. y = −2ax + 5a + 9

• ג. S = (3a + 9)²/(4a)

• ד. a = 3 (שטח מינימלי 27)

מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך