📈 מלבן ABCD מתחת לגרף

שאלון 0355712025חורף תשפ"השאלה 8

נתונה הפונקצייה f(x) = x√(21 − x).

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

(2) מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקצייה f(x).

ידוע כי לפונקצייה f(x) יש נקודת קיצון פנימית אחת ואין לה נקודות פיתול.

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקצייה f(x).

הנקודה C היא נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם החלק החיובי של ציר ה־ x.

מן הנקודה A העבירו שני אנכים:

אנך אחד לציר ה־ x החותך אותו בנקודה B, ואנך נוסף לישר x = 21 החותך אותו בנקודה D.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה A שבעבורה היקף המלבן ABCD הוא מקסימלי.

📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)

🎛️ יישומון: המלבן ABCD בין הגרף לישר x = 21

הזיזו את t, שיעור ה־x של A. המלבן נמתח מ־A עד הישר x = 21. מתי ההיקף הכי גדול?

✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)

A = (t, t√(21−t)) , B = (t, 0) , C = (21, 0) , D = (21, t√(21−t)) , 0 < t < 21.

אורך המלבן BC = 21 − t, ורוחבו AB = t√(21 − t).

P(t) = 2(21 − t) + 2t√(21 − t)

P'(t) = −2 + 2√(21 − t) − t/√(21 − t) = 0 | ·√(21−t)

−2√(21−t) + 2(21 − t) − t = 0 ⇒ 2√(21 − t) = 42 − 3t

4(21 − t) = (42 − 3t)² ⇒ 9t² − 248t + 1680 = 0 ⇒ t = 12 (או t = 15.56 שנפסל: 42 − 3t < 0)

P′ חיובית לפני 12 ושלילית אחרי, לכן מקסימום.

f(12) = 12·√9 = 36 , P_max = 2(9 + 36) = 90

• תשובה: A(12, 36) (היקף מקסימלי 90)

מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך