📊 מכפלת אורכי הקטעים AC ו־BC
נתונה הפונקצייה f(x) = √x, המוגדרת בתחום x ≥ 0, ונתונה הפונקצייה g(x) = 16/(x² + 3), המוגדרת לכל x.
א. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגה.
(2) מצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקצייה g(x).
(3) סרטטו במערכת צירים אחת סקיצה של כל אחת מן הפונקציות f(x) ו־ g(x).
בנקודה C(t, 0), t > 0, מעבירים אנך לציר ה־ x.
האנך חותך את גרף הפונקצייה f(x) בנקודה A ואת הגרף של הפונקצייה g(x) בנקודה B.
ב. הביעו באמצעות t את מכפלת אורכי הקטעים AC ו־ BC.
ג. הוכיחו כי מכפלת אורכי הקטעים AC ו־ BC מקסימלית כאשר הנקודה B היא נקודת פיתול של הפונקצייה g(x).
נתונה הפונקצייה k(x) = 8√(x − 4) / ((x − 4)² + 3), המוגדרת בתחום x ≥ 4.
ד. היעזרו בסעיפים הקודמים של השאלה. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקצייה k(x), וקבעו את סוגה. נמקו את תשובתכם.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: המכפלה [[AC·BC]] על האנך [[x = t]]
הזיזו את t. האנך ב־C(t, 0) פוגש את f = √x ב־A ואת g = 16/(x² + 3) ב־B. הנקודות הכתומות הן נקודות הפיתול של g.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. (1) g′(x) = −32x/(x² + 3)² = 0 ⇒ x = 0: מקסימום (0, 16/3).
(2) g″(x) = 32(3x² − 3)/(x² + 3)³ = 0 ⇒ x = ±1: נקודות פיתול (±1, 4).
ב. AC = √t , BC = 16/(t² + 3):
ג.
M′ חיובית לפני 1 ושלילית אחרי, לכן מקסימום, ו־B(1, 4) היא בדיוק נקודת הפיתול של g. ∎
ד. k(x) = 8√(x − 4)/((x − 4)² + 3) = ½·M(x − 4): הזזה ב־4 ימינה וכיווץ פי 2. לכן נקודת הקיצון הפנימית היא מקסימום ב־x = 5:
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך