⭕ מלבן ACDE במעגל

שאלון 0355712024קיץ תשפ"ד מועד אשאלה 8

הקטע AB הוא קוטר במעגל שרדיוסו R.

מסמנים על הקוטר נקודה C ועל המעגל מסמנים נקודה D,

כך שהקטע CD מאונך לקטע AB. הקטע AC גדול מ־ R.

דרך הנקודה D מעבירים ישר שמקביל לקוטר AB.

דרך הנקודה A מעבירים משיק למעגל.

הישר המקביל והמשיק נחתכים בנקודה E.

נסמן: AC = x.

א. הביעו באמצעות R את הערך של x שבעבורו שטח המלבן ACDE מקסימלי.

הנקודה F נמצאת על הצלע DE.

ב. הביעו באמצעות R את סכום השטחים המקסימלי של המשולשים CDF ו־ AFE.

📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)

🎛️ יישומון: המלבן ACDE בתוך המעגל

הזיזו את x = AC (בין R ל־2R). הנקודה D רצה על המעגל והמלבן ACDE משתנה. אפשר להזיז גם את F על DE: סכום שטחי המשולשים תמיד חצי מהמלבן!

✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)

נשים את A בראשית ואת הקוטר AB על ציר ה־x, כך שמרכז המעגל ב־(R, 0).

א. הנקודה C היא (x, 0), ו־D נמצאת על המעגל מעליה:

CD² = R² − (x − R)² = 2Rx − x² ⇒ CD = √(2Rx − x²)

המלבן ACDE: אורך x, רוחב CD.

S(x) = x·√(2Rx − x²) , R < x < 2R

S² = 2Rx³ − x⁴ ⇒ (S²)' = 6Rx² − 4x³ = 2x²(3R − 2x) = 0 ⇒ x = 1.5R

לפני x = 1.5R הנגזרת חיובית ואחריה שלילית, לכן מקסימום.

S_max = 1.5R · √(3R² − 2.25R²) = 1.5R · (√3/2)R = (3√3/4)R²

ב. במשולש CDF: הבסיס DF והגובה CD. במשולש AFE: הבסיס FE והגובה AE = CD. ביחד:

S_CDF + S_AFE = ½·CD·(DF + FE) = ½·CD·DE = ½·S_ACDE

לכן הסכום המקסימלי הוא חצי מהשטח המקסימלי של המלבן (בכל מיקום של F):

(S_CDF + S_AFE)_max = (3√3/8)R² ≈ 0.65R²

תשובות:

• א. x = 1.5R

• ב. (3√3/8)·R²

מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך