🌷 שתי גינות: יחס שטחים

שאלון 0355712024חורף תשפ"דשאלה 8

נתונות שתי גינות מלבניות הצמודות זו לזו, גינה A וגינה B.

הרוחב של גינה A הוא t מטרים.

הרוחב של גינה B הוא 2 מטרים ושטחה הוא 2t + 2 מ"ר, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

האורך הכולל של שתי הגינות הוא k מטרים. k הוא קבוע.

א. הביעו באמצעות k ו־ t את שטח הגינה A.

ב. הביעו באמצעות k את הערך של t שבעבורו היחס בין שטח הגינה B ובין שטח הגינה A הוא מינימלי.

ג. הביעו באמצעות k את הערך של t שבעבורו היחס בין שטח הגינה A ובין שטח הגינה B הוא מקסימלי. נמקו את תשובתכם.

📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)

🎛️ יישומון: שתי גינות צמודות

הזיזו את t, הרוחב של גינה A. גינה B ברוחב 2 ובשטח 2t + 2, ולכן אורכה t + 1. האורך הכולל k קבוע (אפשר לשנות אותו).

✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)

גינה B: רוחב 2 ושטח 2t + 2 ⇒ אורכה t + 1. האורך הכולל k , ולכן אורך גינה A הוא k − (t + 1).

א.

S_A = t(k − t − 1)

ב.

R(t) = S_B/S_A = (2t + 2)/(t(k − 1 − t))

R'(t) = 0 ⇔ t(k − 1 − t) − (t + 1)(k − 1 − 2t) = 0 ⇔ t² + 2t − (k − 1) = 0

t = −1 + √k (הפתרון החיובי)

R′ שלילית לפני ונעשית חיובית אחרי, לכן מינימום.

ג. S_A/S_B = 1/R(t). כש־R חיובי ומינימלי, ההפכי שלו מקסימלי, באותו t:

t = √k − 1

תשובות:

• א. S_A = t(k − t − 1)

• ב.+ג. t = √k − 1

מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך