📐 מלבן ומשולש: CE פחות AF
הנקודה E היא אמצע הקטע AB.
על הקטע AB בונים מלבן ABCD
ומשולש ישר זווית AFB, ∢AFB = 90°, כמתואר בסרטוט.
נתון: ∢FAB = 2x , ∢ECB = x.
נסמן את אורך הקטע AB ב־ h.
א. מהו תחום הערכים האפשרי בעבור x? הסבירו את תשובתכם.
ב. הביעו באמצעות x ו־ h את ההפרש בין אורך הקטע CE לאורך הקטע AF.
ג. מצאו את הערך של x שבעבורו ההפרש בין אורך הקטע CE לאורך הקטע AF הוא מינימלי.
ד. בעבור הערך של x שמצאתם בסעיף ג, מצאו את היחס בין שטח המלבן ABCD לשטח המשולש AFB.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: מלבן ומשולש על אותה צלע AB
הזיזו את x (0 < x < 45°). המלבן נקבע על ידי ∢ECB = x, והמשולש על ידי ∢FAB = 2x. אפשר לשנות גם את h = AB.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. במשולש AFB ישר הזווית, ∢FAB = 2x חייבת להיות זווית חדה: 0 < 2x < 90°.
ב. במשולש EBC (∢B = 90°, EB = h/2): CE = EB/sin x. במשולש AFB: AF = AB·cos 2x.
ג. D'(x) = −h·cos x/(2sin²x) + 2h·sin 2x = −h·cos x/(2sin²x) + 4h·sin x·cos x
D′ שלילית לפני ונעשית חיובית אחרי, לכן מינימום (D_min = h − h/2 = h/2).
ד. BC = EB/tan x = (h/2)/tan 30° = (√3/2)h. שטח המלבן: h·BC = (√3/2)h².
שטח המשולש: ½·AF·BF = ½·h cos 60°·h sin 60° = (√3/8)h².
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך