🔺 יחס שטחים מקסימלי
שאלון 0355712023קיץ תשפ"ג מועד מיוחדשאלה 8
ישר ששיפועו −2 חותך את החלק החיובי של ציר ה־ x בנקודה B,
ואת החלק החיובי של ציר ה־ y בנקודה A.
הנקודה D נמצאת על הישר AB ברביע הראשון.
הנקודה E נמצאת על ציר ה־ x כך שהקטע DE מקביל לציר ה־ y.
הנקודה O היא ראשית הצירים, כמתואר בסרטוט.
נסמן את אורך הקטע OE ב־ p.
נתון: שטח המשולש OED הוא p/2.
א. הביעו באמצעות p את משוואת הישר AB.
ב. מצאו את הערך של p שבעבורו היחס בין שטח המשולש OED ובין שטח המשולש ABO הוא מקסימלי.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: שני משולשים ויחס שטחים
הזיזו את p = OE. כדי ששטח OED יהיה p/2, הישר AB חייב להיות y = −2x + 2p + 1, כלומר הוא זז יחד עם p!
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. נסמן את הישר y = −2x + c. אז D = (p, c − 2p), והגובה DE = c − 2p.
S_OED = ½·p·(c − 2p) = p/2 ⇒ c − 2p = 1 ⇒ c = 2p + 1
AB: y = −2x + 2p + 1
ב. A = (0, 2p + 1) , B = ((2p + 1)/2, 0):
S_ABO = ½·(2p + 1)·(2p + 1)/2 = (2p + 1)²/4
R(p) = S_OED / S_ABO = (p/2)·4/(2p + 1)² = 2p/(2p + 1)²
R'(p) = 2(2p + 1 − 4p)/(2p + 1)³ = 2(1 − 2p)/(2p + 1)³ = 0 ⇒ p = ½
R′ חיובית לפני ½ ושלילית אחרי, לכן מקסימום. היחס המקסימלי: R(½) = 1/4.
תשובות:
• א. y = −2x + 2p + 1
• ב. p = ½ (היחס המקסימלי ¼)
מקור: אתר יואל גבע (files.geva.co.il)