〰️ המרחק המינימלי בין שתי פונקציות
נתונה הפונקצייה f(x) = sin(x)·cos³(x) המוגדרת בתחום −π/2 ≤ x ≤ π/2.
א. (1) האם הפונקצייה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו.
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.
(3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
נתונה הפונקצייה g(x) = 1/√f(x).
ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x).
(2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x).
(3) סרטטו (בקו מקווקו) סקיצה של גרף הפונקצייה g(x) באותה מערכת צירים שבה סרטטתם את גרף הפונקצייה f(x).
ענו על סעיף ג בעבור התחום שבו מוגדרות שתי הפונקציות f(x) ו־ g(x).
ג. מצאו את המרחק המינימלי בין הפונקציות f(x) ו־ g(x).
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: המרחק האנכי בין [[f]] ל־[[g = 1/√f]]
הזיזו את x בתחום 0 < x < π/2 (שם שתי הפונקציות מוגדרות). הקטע הירוק הוא המרחק g(x) − f(x).
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
(סעיף ג בלבד, בעבור 0 < x < π/2 , שם f(x) > 0 ושתי הפונקציות מוגדרות.)
בכל נקודה g(x) = 1/√f(x) > f(x) (כי 0 < f ≤ 3√3/16 < 1), ולכן המרחק האנכי:
הסוגריים חיוביים תמיד, ולכן d′ = 0 בדיוק כאשר f′ = 0: המרחק מינימלי בנקודת המקסימום של f.
מקור: אתר יואל גבע (files.geva.co.il)