🔷 מעוין: הקטע DE המינימלי
שאלון 0355712023קיץ תשפ"ג מועד אשאלה 8
נתון מעוין ABCD. נקודה E היא אמצע הצלע BC.
נסמן: ∢ECD = x.
נתון: שטח המשולש ECD הוא 18.
א. הביעו באמצעות x את אורך צלע המעוין.
ב. חשבו את האורך המינימלי של הקטע DE.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: המעוין עם שטח ECD קבוע
הזיזו את הזווית x = ∢C. שטח המשולש ECD נשאר 18, ולכן הצלע משתנה: s² = 72/sin x. חפשו את הקטע DE הקצר ביותר.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
נסמן את צלע המעוין ב־s. אז CE = s/2 ו־CD = s.
א. שטח המשולש ECD:
½ · (s/2) · s · sin x = s²·sin x / 4 = 18 ⇒ s = √(72 / sin x) = 6√2/√(sin x)
ב. לפי משפט הקוסינוסים במשולש ECD:
DE² = s²/4 + s² − 2·(s/2)·s·cos x = s²(5/4 − cos x) = 72(1.25 − cos x)/sin x
g(x) = (1.25 − cos x)/sin x , g'(x) = (sin²x − (1.25 − cos x)cos x)/sin²x = (1 − 1.25cos x)/sin²x
g'(x) = 0 ⇒ cos x = 0.8 , sin x = 0.6
g′ שלילית לפני ונעשית חיובית אחרי, לכן מינימום.
DE² = 72 · 0.45 / 0.6 = 54 ⇒ DE_min = √54 = 3√6 ≈ 7.35
תשובות:
• א. s = √(72/sin x)
• ב. DE_min = 3√6 ≈ 7.35 (כאשר cos x = 0.8, x ≈ 36.9°)
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך