📏 מלבן בין אסימפטוטות
לפניכם שלוש פונקציות שלכל אחת מהן יש שני ערכי x שבהם היא אינה מוגדרת.
g(x) = (x² − 1) / ((x + 1)(x + 2)) , h(x) = x³ / (x(x + 2)) , k(x) = (x³ − 1) / (x²(x + 2))
ידוע כי לאחת משלוש הפונקציות יש אסימפטוטה אופקית אחת ואסימפטוטה אנכית אחת בלבד.
א. מבין שלוש הפונקציות הנתונות, קבעו איזו פונקצייה מקיימת את כל התכונות האלה. נמקו את קביעתכם.
ענו על סעיפים ב–ד עבור הפונקצייה שקבעתם בסעיף א.
ב. (1) מצאו את המשוואה של האסימפטוטה האופקית ואת המשוואה של האסימפטוטה האנכית של הפונקצייה.
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים.
נתון כי לפונקצייה זו אין נקודות קיצון.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה.
נסמן נקודה A על גרף הפונקצייה, שעבורה x = t, −1 < t < 1.
מן הנקודה A מעבירים שני ישרים, האחד מאונך לציר ה־ x והאחר מאונך לאסימפטוטה האנכית של הפונקצייה, כך שנוצר מלבן על ידי שני הישרים, על ידי האסימפטוטה האנכית ועל ידי ציר ה־ x.
ד. מצאו את ערכו של t שבעבורו היקף המלבן המתקבל הוא מינימלי. תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: מלבן בין הגרף, האסימפטוטה וציר ה־x
הזיזו את t בתחום −1 < t < 1. המלבן נוצר בין x = t, האסימפטוטה x = −2, ציר ה־x והישר האופקי דרך A.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. g(x) = (x² − 1)/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)/(x + 2) כאשר x ≠ −1, x ≠ −2. ב־x = −1 יש "חור" ולא אסימפטוטה, ולכן: אסימפטוטה אנכית אחת x = −2 ואסימפטוטה אופקית y = 1. (ל־h(x) = x²/(x + 2) אין אסימפטוטה אופקית, ול־k(x) יש שתי אסימפטוטות אנכיות x = 0 ו־x = −2.) הפונקצייה היא g(x).
ב. (1) y = 1 , x = −2. (2) חיתוך עם ציר ה־x: (1, 0). חיתוך עם ציר ה־y: (0, −½).
ד. A(t, (t − 1)/(t + 2)), −1 < t < 1. שם g(t) < 0.
אורך המלבן (מ־x = −2 עד x = t): t + 2. רוחבו: |g(t)| = (1 − t)/(t + 2).
P′ שלילית לפני ונעשית חיובית, לכן מינימום.
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך