📉 משולש OBC מתחת למשיק

שאלון 0355712022קיץ תשפ"ב מועד בשאלה 8

נתונה הפונקצייה f(x) = x³ + 4x², המוגדרת לכל x.

הנקודה B נמצאת על גרף הפונקצייה f(x) ברביע השני (ראו סרטוט).

מן הנקודה B מעבירים משיק לגרף הפונקצייה f(x).

המשיק חותך את ציר ה־ y בנקודה C.

נסמן ב־ t את שיעור ה־ x של הנקודה B.

א. הביעו באמצעות t את משוואת המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודה B.

ידוע כי הנקודה C נמצאת מתחת לציר ה־ x.

ב. מהו תחום הערכים של t?

הנקודה O היא ראשית הצירים.

ג. מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OBC.

📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)

🎛️ יישומון: משולש OBC מתחת למשיק

הזיזו את t (שיעור ה־x של B, בתחום −2 < t < 0). המשיק ב־B חותך את ציר ה־y ב־C.

✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)

א. f′(x) = 3x² + 8x. בנקודה B(t, t³ + 4t²):

y = (3t² + 8t)(x − t) + t³ + 4t² ⇒ y = (3t² + 8t)x − 2t³ − 4t²

ב. B ברביע השני: t < 0 ו־f(t) = t²(t + 4) > 0 ⇒ −4 < t < 0.

C = (0, −2t³ − 4t²) מתחת לציר ה־x: −2t²(t + 2) < 0 ⇒ t > −2.

−2 < t < 0

ג. בסיס OC = 2t³ + 4t² (אורך), גובה = |t| = −t:

S(t) = ½(2t³ + 4t²)(−t) = −t⁴ − 2t³

S'(t) = −4t³ − 6t² = −2t²(2t + 3) = 0 ⇒ t = −1.5

S′ חיובית לפני −1.5 ושלילית אחרי, לכן מקסימום.

S_max = −(1.5)⁴ + 2(1.5)³ = −5.0625 + 6.75 = 27/16 = 1.6875

תשובות:

• א. y = (3t² + 8t)x − 2t³ − 4t²

• ב. −2 < t < 0

• ג. S_max = 27/16

מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך