📐 משולש OAB בין שני גרפים

שאלון 0355712022קיץ תשפ"ב מועד אשאלה 8

נתונות שתי פונקציות: f(x) = x³ , g(x) = √f(x).

א. (1) מִצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x) ואת תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x).

(2) מִצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם גרף הפונקצייה g(x).

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקצייה f(x), והנקודה B נמצאת על גרף הפונקצייה g(x) כך שהקטע AB מקביל לציר ה־ x.

נתון כי שיעור ה־ x של הנקודה A נמצא בין שיעורי ה־ x של נקודות החיתוך של הפונקצייה f(x) עם הפונקצייה g(x).

נסמן ב־ t את שיעור ה־ x של הנקודה A. t הוא פרמטר.

ב. הַביעו באמצעות t את אורך הקטע AB.

ג. הנקודה O היא ראשית הצירים. מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OAB.

ד. האם השטח המקסימלי של המשולש OAB מתקבל כאשר אורך הקטע AB הוא מקסימלי? נַמקו את התשובה.

📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)

🎛️ יישומון: המשולש OAB בין [[x³]] ל־[[x^1.5]]

הזיזו את t. A(t, t³) על f, ו־B(t², t³) על g באותו גובה. שימו לב: השטח המקסימלי (t = 0.8) ואורך AB המקסימלי (t = 0.5) לא באותה נקודה!

✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)

א. (1) f מוגדרת לכל x. g(x) = √(x³) מוגדרת כאשר x³ ≥ 0, כלומר x ≥ 0.

(2) x³ = √(x³) ⇒ x³(x³ − 1) = 0 ⇒ x = 0 או x = 1. נקודות החיתוך: (0, 0) , (1, 1).

ב. A(t, t³) עם 0 < t < 1. הנקודה B על g באותו גובה: √(x³) = t³ ⇒ x³ = t⁶ ⇒ x = t².

AB = t − t² (כי t² < t כאשר 0 < t < 1)

ג. הגובה של המשולש OAB לבסיס AB הוא שיעור ה־y של A, כלומר t³:

S(t) = ½(t − t²)·t³ = ½(t⁴ − t⁵)

S'(t) = ½(4t³ − 5t⁴) = ½t³(4 − 5t) = 0 ⇒ t = 0.8

S′ חיובית לפני 0.8 ושלילית אחרי, לכן מקסימום.

S_max = ½(0.8⁴ − 0.8⁵) = 0.04096

ד. AB = t − t² מקסימלי ב־t = 0.5 (קודקוד הפרבולה), ולא ב־t = 0.8. לכן לא.

תשובות:

• ב. AB = t − t²

• ג. S_max = 0.04096 (ב־t = 0.8)

• ד. לא, AB מקסימלי ב־t = 0.5

מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך