🧵 חוט: משולש ומעגל

שאלון 0355712022חורף נבצרים תשפ"בשאלה 8

חותכים חוט שאורכו k לשני חלקים.

מחֵלק אחד של החוט יוצרים משולש שווה־צלעות ומן החלק האחר יוצרים מעגל.

נסמן ב־ x את אורך צלע המשולש.

א. הבע באמצעות k את תחום ההגדרה של x.

ב. הבע באמצעות k את אורך צלע המשולש, שעבורו סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי.

ג. הראה כי כאשר סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי, אי אפשר לחסום את המשולש שהתקבל בַּמעגל שהתקבל.

📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)

🎛️ יישומון: חוט: משולש שווה־צלעות ומעגל

הזיזו את x, צלע המשולש. מה שנשאר מהחוט (k − 3x) הופך למעגל. אפשר לשנות גם את אורך החוט k.

✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)

א. היקף המשולש 3x חייב להיות קטן מאורך החוט:

0 < x < k/3

ב. היקף המעגל k − 3x , ולכן רדיוסו r = (k − 3x)/(2π).

S(x) = (√3/4)x² + π·r² = (√3/4)x² + (k − 3x)²/(4π)

S'(x) = (√3/2)x − 3(k − 3x)/(2π) = 0 ⇒ √3·π·x = 3k − 9x ⇒ x = 3k/(9 + √3π) ≈ 0.208k

S″ > 0 (פרבולה מחייכת), לכן מינימום.

ג. ב־x הזה: k − 3x = √3πk/(9 + √3π) , ולכן

r = √3k / (2(9 + √3π)) , x/√3 = √3k/(9 + √3π) = 2r

רדיוס המעגל החוסם משולש שווה־צלעות שצלעו x הוא x/√3, כלומר 2r. הוא גדול פי 2 מרדיוס המעגל שהתקבל, ולכן אי אפשר לחסום את המשולש במעגל (המעגל שהתקבל הוא בדיוק המעגל החסום בתוך משולש כזה!).

תשובות:

• א. 0 < x < k/3

• ב. x = 3k/(9 + √3π) ≈ 0.208k

→ הקודמת הבאה ←

מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך