🌊 אורך הסכר המינימלי

שאלון 0355712022חורף תשפ"בשאלה 8

תעלת מים ראשית ברוחב קבוע a מחוברת בניצב לתעלה משנית ברוחב קבוע b.

הנקודה C היא נקודת המפגש בין דופן של התעלה הראשית ובין דופן של התעלה המשנית (ראה סרטוט).

מהנדסת מתכננת סכר ישר, שיֵצא מן הנקודה A שבדופן התעלה הראשית, יעבור דרך הנקודה C ויגיע עד הנקודה B שבדופן התעלה המשנית.

הסכר ייצור זווית שגודלה x עם הדופן CD של התעלה המשנית, כמתואר בסרטוט.

א. הבע באמצעות a, b ו־ x את אורך הסכר AB.

נתון כי a = 2b.

ב. מצא את x שבעבורו אורך הסכר AB יהיה מינימלי.

ג. ידוע כי האורך המינימלי של הסכר הוא 8. מצא את b.

📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)

🎛️ יישומון: הסכר דרך הפינה C

הזיזו את הזווית x וראו איך משתנה אורך הסכר AB = a/cos x + b/sin x. אפשר לשנות גם את b (ו־a = 2b). כשהסכר הכי קצר, האורך שלו 8 בדיוק כאשר b ≈ 1.92.

✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)

נניח שהתעלה הראשית אופקית ברוחב a והתעלה המשנית אנכית ברוחב b, ו־CD הוא דופן התעלה המשנית (אנכי).

א. החלק AC חוצה את התעלה הראשית: הרכיב האנכי שלו הוא a, והזווית עם האנך היא x, לכן AC = a/cos x.

החלק CB חוצה את התעלה המשנית: הרכיב האופקי שלו הוא b, לכן CB = b/sin x.

AB(x) = a/cos x + b/sin x , 0 < x < π/2

ב. נציב a = 2b:

L(x) = b(2/cos x + 1/sin x)

L'(x) = b(2sin x/cos²x − cos x/sin²x) = 0 ⇒ 2sin³x = cos³x ⇒ tan³x = 1/2

tan x = 1/∛2 ≈ 0.794 ⇒ x ≈ 0.671 rad ≈ 38.4°

לפני הנקודה L′ שלילית ואחריה חיובית, לכן זה מינימום.

ג. ב־tan x = 2^(−1/3) מקבלים cos x = 1/√(1+2^(−2/3)) , sin x = 2^(−1/3)/√(1+2^(−2/3)):

L_min = b(1 + ∛4)^(3/2) ≈ 4.162b = 8 ⇒ b = 8/(1+∛4)^(3/2) ≈ 1.92

תשובות:

• א. AB = a/cos x + b/sin x

• ב. tan x = 1/∛2, כלומר x ≈ 38.4°

• ג. b = 8/(1+∛4)^{3/2} ≈ 1.92

מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך