🔺 משולש PMO מתחת לגרף
בסרטוט שלפניך מוצגת הפונקציה f(x) = √(a·x⁴ + b·x³).
נתון שתחום ההגדרה של הפונקציה f(x) הוא 0 ≤ x ≤ 4.
א. (1) הוכח כי b = −4·a.
(2) לפניך שתי טענות I – II. רק אחת מהן נכונה. קבע מהי הטענה הנכונה, ונמק את קביעתך.
I. a > 0 , b < 0
II. a < 0 , b > 0
הנקודה P נמצאת על גרף הפונקציה (f(x))² המוגדרת גם היא בתחום 0 ≤ x ≤ 4. מנקודה P מעבירים ישר המאונך לציר ה־ x. M היא נקודת החיתוך של האנך עם ציר ה־ x, ו־ O היא ראשית הצירים.
ב. מהו שיעור ה־ x של הנקודה P שבעבורו שטח המשולש PMO הוא מקסימלי? נמק את תשובתך.
ג. בעבור שיעור ה־ x שמצאת בסעיף ב, בטא באמצעות a את השטח המקסימלי של המשולש PMO.
ד. אם ידוע כי שיעור ה־ x של הנקודה P נמצא בתחום שבו הפונקציה (f(x))² אינה יורדת, מהו שיעור ה־ x של הנקודה P שבעבורו שטח המשולש PMO הוא מקסימלי? נמק את תשובתך.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: המשולש PMO מתחת ל־[[(f(x))² = a(x⁴ − 4x³)]]
הזיזו את x_P. הגרף הוא (f(x))² = a·x⁴ − 4a·x³ עם a < 0 (כאן a = −1, ואפשר לשנות). הכפתור הכתום מגביל ל־0 ≤ x ≤ 3, התחום שבו (f(x))² לא יורדת.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. (1) תחום ההגדרה 0 ≤ x ≤ 4, ולכן f(4) = 0: 256a + 64b = 0 ⇒ b = −4a. ∎
(2) a·x³(x − 4) ≥ 0 ב־0 ≤ x ≤ 4, ושם x − 4 ≤ 0 ⇒ a < 0 , b = −4a > 0. טענה II נכונה.
ב. P = (x, a(x⁴ − 4x³)) , M = (x, 0):
(a < 0, ולכן S′ חיובית לפני 3.2 ושלילית אחרי: מקסימום.)
ג.
ד. (f(x))² = a(x⁴ − 4x³), ונגזרתה a(4x³ − 12x²) = 4ax²(x − 3) ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 (כי a < 0). בתחום 0 ≤ x ≤ 3 , S עולה (3.2 מחוץ לתחום), ולכן המקסימום בקצה: x = 3 (S = −40.5a).
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך