🟩 מלבן בין שתי היפרבולות

שאלון 0355812021קיץ תשפ"א מועד מיוחדשאלה 8

נתונות הפונקציות: f(x) = (x − 1)/(x − 3) , g(x) = (x − 3)/(x − 1).

ענה על סעיף א בעבור כל אחת משתי הפונקציות f(x) ו־ g(x).

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

בסרטוט שלפניך מתואר חלק מן הגרף של הפונקציה f(x), חלק מן הגרף של הפונקציה g(x), ומלבן החסום ביניהם ובין ציר ה־ x.

צלע BC של המלבן מונחת על ציר ה־ x, והצלע הנגדית, AD, מחברת בין נקודה על הגרף של f(x) ובין נקודה על הגרף של g(x), כמתואר בסרטוט.

נסמן ב־ t את שיעור ה־ x של הנקודה A.

ב. קבע מהו תחום הערכים האפשרי של t.

ג. (1) הבע באמצעות t את אורך הצלע AB.

(2) הוכח ששיעור ה־ x של הנקודה D הוא 4 − t.

(3) הבע באמצעות t את שטח המלבן ABCD.

ד. מצא את t שבעבורו שטח המלבן ABCD הוא מקסימלי.

📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)

🎛️ יישומון: מלבן בין שתי היפרבולות

הזיזו את t (שיעור ה־x של A, בין 2 ל־3). A על g ו־D על f באותו גובה; x_D = 4 − t.

✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)

א. f: x ≠ 3, חיתוך עם הצירים (1, 0) , (0, ⅓). g: x ≠ 1, חיתוך (3, 0) , (0, 3).

ב. הגרפים סימטריים זה לזה ביחס לישר x = 2. המלבן נמצא מתחת לציר ה־x, בין x = 1 ל־x = 3: הקודקוד A על גרף g (מימין לישר x = 2) והקודקוד D על גרף f.

2 < t < 3

ג. (1) בתחום 2 < t < 3 מתקיים g(t) = (t − 3)/(t − 1) < 0, ולכן:

AB = (3 − t)/(t − 1)

(2) f(x) = g(t) ⇒ (x − 1)/(x − 3) = (t − 3)/(t − 1) ⇒ (x − 1)(t − 1) = (t − 3)(x − 3) ⇒ x = 4 − t. ∎

(3) AD = t − (4 − t) = 2t − 4:

S(t) = (2t − 4)(3 − t)/(t − 1)

ד.

S'(t) = 0 ⇔ (−4t + 10)(t − 1) − (2t − 4)(3 − t) = 0 ⇔ −2t² + 4t + 2 = 0 ⇔ t² − 2t − 1 = 0

t = 1 + √2 ≈ 2.414 , S_max = 2√2·(2 − √2)/√2 = 6 − 4√2 ≈ 0.343

תשובות:

• ב. 2 < t < 3

• ג.(3) S = (2t − 4)(3 − t)/(t − 1)

• ד. t = 1 + √2

מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך