🔺 היקף משולש מקסימלי
שאלון 0355812021קיץ תשפ"א מועד אשאלה 8
במשולש ABC אורך הצלע BC הוא a.
נתון: ∢BAC = α (α ברדיאנים).
נסמן: ∢ABC = x (0 < x < π − α).
א. הבע באמצעות x, a ו־ α את היקף המשולש ABC.
ב. הבע באמצעות α את ערך ה־ x שבעבורו היקף המשולש ABC הוא מקסימלי.
ג. הסבר מדוע מתקיים המשפט הזה: מכל המשולשים בעלי צלע נתונה וזווית מולה נתונה, המשולש בעל ההיקף המקסימלי הוא משולש שווה שוקיים.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: משולש עם צלע [[a]] וזווית [[α]] מולה
הזיזו את x = ∢B. הצלע BC = a והזווית α קבועות, ולכן A נעה על קשת (כל המשולשים חסומים באותו מעגל). מתי ההיקף מקסימלי?
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. ∢C = π − α − x. לפי משפט הסינוסים, a/sin α = AC/sin x = AB/sin(α + x):
P(x) = a + a·sin x/sin α + a·sin(α + x)/sin α
ב.
P'(x) = (a/sin α)(cos x + cos(α + x)) = 0 ⇒ cos x = −cos(α + x) = cos(π − α − x)
x = π − α − x ⇒ x = (π − α)/2
P′ חיובית לפני ושלילית אחרי, לכן מקסימום.
ג. ב־x = (π − α)/2 גם ∢C = (π − α)/2 = ∢B, כלומר המשולש שווה שוקיים (AB = AC). ∎
תשובות:
• א. P = a + a(sin x + sin(α + x))/sin α
• ב. x = (π − α)/2
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך