∿ סכום שטחי המשולשים AOB ו־COD
נתונה הפונקציה f(x) = x·√(a − x²). a > 0 הוא פרמטר.
א. (1) הבע באמצעות a את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) הוכח שהפונקציה f(x) היא אי־זוגית.
(3) בסרטוט שלפניך מתואר חלק מגרף הפונקציה f(x). העתק את הסרטוט למחברתך והשלם אותו כך שיתאר את גרף הפונקציה f(x) כולו.
דרך נקודה A הנמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע הראשון מעבירים אנך לציר ה־ x.
האנך חותך את ציר ה־ x בנקודה B.
ישר העובר דרך נקודה A ודרך ראשית הצירים, O, חותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה נוספת, C.
דרך הנקודה C מעבירים אנך לציר ה־ x. האנך חותך את ציר ה־ x בנקודה D.
נתון: הסכום המקסימלי של שטחי המשולשים AOB ו־ COD הוא 4√2.
ב. מצא את a.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: המשולשים AOB ו־COD על [[x√(a − x²)]]
הזיזו את x_A = u. הישר AO פוגש את הגרף ב־C = −A (הפונקצייה אי־זוגית), ולכן שני המשולשים חופפים. הפרמטר a = 6 הוא הערך שמתקבל מהנתון 4√2; אפשר לשנות אותו.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. (1) a − x² ≥ 0 ⇒ −√a ≤ x ≤ √a. (2) f(−x) = −x√(a − x²) = −f(x). ∎
ב. A = (u, u√(a − u²)) , 0 < u < √a. f אי־זוגית, ולכן C = −A = (−u, −f(u)), והמשולשים AOB ו־COD חופפים:
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך