↔️ הקטע AB בין היפרבולה לישר
נתונה הפונקציה f(x) = 1 − 2/(x + 1).
א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x), ואת האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.
(2) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ב. העבירו ישר המקביל לציר ה־ x.
הישר חותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה A ואת הישר y = ½x בנקודה B.
נסמן את שיעור ה־ x של הנקודה A ב־ t.
נתון: t < −1.
מצא את הערך של t שבעבורו האורך של הקטע AB הוא מינימלי.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: הקטע AB בין [[f = 1 − 2/(x + 1)]] לישר [[y = ½x]]
הזיזו את t < −1 (הענף השמאלי). הקטע AB אופקי מ־A על הגרף עד B על הישר.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. תחום: x ≠ −1. אסימפטוטות: x = −1 , y = 1. f′(x) = 2/(x + 1)² > 0: עולה בכל תחום.
ב. A = (t, 1 − 2/(t + 1)). B על y = ½x באותו גובה: x_B = 2 − 4/(t + 1).
בעבור t < −1: g(t) = t − 2 + 4/(t + 1) < 0, ולכן AB = −g(t).
g(−3) = −3 − 2 − 2 = −7, ו־g″(−3) < 0: g מקסימלית, כלומר |g| מינימלית.
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך