∫ אינטגרל מינימלי
נתונה הפונקציה f(x) = 6x(x³ − 1)³, המוגדרת לכל x.
ענה על הסעיפים א־ג. אם צריך, השאר בתשובותיך שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
א. (1) מה הם שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים?
(2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן (אם יש כאלה).
(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
(4) בעבור אילו ערכים של k הישר y = k משיק לגרף הפונקציה f(x)?
ב. נתונה המשוואה 6x(x³ − 1)³ = m. m הוא פרמטר.
הסתמך על גרף הפונקציה f(x), וקבע בעבור אילו ערכי m למשוואה הנתונה יש בדיוק שני פתרונות חיוביים שונים, ובעבור אילו ערכי m יש לה פתרון אחד שלילי ופתרון אחד חיובי. נמק את תשובותיך.
ג. היעזר בסרטוט וקבע אם קיים a > 0 שבעבורו האינטגרל ∫₀ᵃ f(x)dx מקבל ערך מינימלי. אם כן, מהו ערכו של a זה? נמק את תשובתך.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: האינטגרל [[∫₀ᵃ 6x(x³ − 1)³ dx]]
הזיזו את a. בין 0 ל־1 הפונקצייה שלילית (אדום), ואחרי 1 חיובית (ירוק). מתי האינטגרל הכי קטן?
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
(סעיף ג בלבד.)
f(x) = 6x(x³ − 1)³: בתחום 0 < x < 1 מתקיים x > 0 ו־x³ − 1 < 0, לכן f < 0. בתחום x > 1, f > 0.
I יורדת כל עוד 0 < a < 1 ועולה כש־a > 1, לכן יש מינימום, ב־a = 1.
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך