⭕ רדיוס המעגל החוסם המינימלי
שאלון 0355812020קיץ תש"ף מועד בשאלה 8
המשולש ABC חסום במעגל.
נתון: AB = 1 , AC = 2.
נסמן: ∢BAC = x.
א. (1) הראה כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC שווה ל־ √(5 − 4cos x) / (2sin x).
(2) מצא את הערך של x שבעבורו רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC הוא מינימלי.
ב. מצא את קוטר המעגל בעבור ערך ה־ x שמצאת בסעיף א(2).
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: המעגל החוסם משולש עם [[AB = 1]], [[AC = 2]]
הזיזו את הזווית x = ∢BAC. המעגל החוסם משתנה בזמן אמת. מתי הוא הכי קטן?
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. (1) משפט הקוסינוסים: BC² = 1 + 4 − 4cos x = 5 − 4cos x. משפט הסינוסים: BC/sin x = 2R:
R(x) = √(5 − 4cos x)/(2sin x) , 0 < x < π
(2) נציב c = cos x ונגזור את R² = (5 − 4c)/(4(1 − c²)) לפי c:
d(R²)/dc ∝ −4(1 − c²) + 2c(5 − 4c) = −4c² + 10c − 4 = 0 ⇒ 2c² − 5c + 2 = 0 ⇒ c = ½
x = π/3 = 60° , R = √3/(2·√3/2) = 1
ב. הקוטר: 2R = 2.
תשובות:
• א.(2) x = 60°
• ב. קוטר 2
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך