∫ אינטגרל מינימלי
נתונה הפונקציה f(x) = (x⁴ + 2x³ − 21x² − 22x + 40)/(x + 2).
א. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)?
(2) האם לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אנכית? נמק.
נתונה הפונקציה g(x) = x³ − 21x + 20.
ב. (1) עבור אילו ערכים של x f(x) = g(x)? נמק.
(2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.
נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־ x הן (4,0) , (1,0) ו־ (−5,0).
ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ד. t > 0 הוא פרמטר.
עבור איזה ערך של t הביטוי ∫₀ᵗ f(x)dx מקבל ערך מינימלי? נמק.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: האינטגרל [[∫₀ᵗ f(x)dx]]
הזיזו את t. השטח הירוק נספר בחיוב והאדום בשלילה. האינטגרל יורד כל עוד f(t) < 0, ולכן המינימום בנקודה שבה f מתחילה להיות חיובית שוב.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
(סעיף ד בלבד.)
x⁴ + 2x³ − 21x² − 22x + 40 = (x + 2)(x³ − 21x + 20), ולכן f(x) = x³ − 21x + 20 = (x − 1)(x − 4)(x + 5) כאשר x ≠ −2.
f(t) > 0 ב־0 < t < 1 , f(t) < 0 ב־1 < t < 4 , f(t) > 0 ב־t > 4.
לכן I עולה עד 1, יורדת עד 4 ועולה שוב: מינימום ב־t = 4.
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך