⛱️ שטח בין פרבולה, משיק וצירים
נתונה הפונקציה f(x) = −x² + 1.
t הוא פרמטר. נתון: 0 < t < 1.
בנקודה שבה x = t העבירו משיק לגרף הפונקציה f(x) (ראה ציור).
א. הראה כי משוואת המשיק היא y = −2tx + t² + 1.
נסמן ב־ S את השטח המקווקו בציור (השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי המשיק ועל ידי הצירים).
ב. מצא בעבור איזה ערך של t השטח S הוא מינימלי.
תוכל להשאיר שורש בתשובתך.
נסמן ב־ A את השטח המנוקד (השטח ברביע הראשון המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי הצירים).
ג. קבע בעבור כל אחת משתי הטענות שלפניך ( i - ii ) אם היא נכונה או לא נכונה. נמק את תשובתך.
(i) קיים ערך של t שבעבורו A/S הוא מקסימלי.
(ii) קיים ערך של t שבעבורו A/S הוא מינימלי.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: השטח בין הפרבולה, המשיק והצירים
הזיזו את נקודת ההשקה t (בין 0 ל־1). השטח הוורוד S הוא המשולש שמתחת למשיק פחות השטח הכחול A שמתחת לפרבולה (A = ⅔ קבוע).
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. f′(t) = −2t , f(t) = 1 − t². y = −2t(x − t) + 1 − t² = −2tx + t² + 1. ∎
ב. המשיק חותך את הצירים ב־(0, t² + 1) וב־((t² + 1)/(2t), 0). השטח מתחת לפרבולה ברביע הראשון:
S′ שלילית לפני ונעשית חיובית אחרי, לכן מינימום: S_min = 4√3/9 − 2/3 ≈ 0.103.
ג. (i) נכון: A קבוע, ולכן A/S מקסימלי בדיוק כש־S מינימלי (t = 1/√3).
(ii) לא נכון: A/S מינימלי כש־S מקסימלי, אבל ל־S אין מקסימום ב־0 < t < 1 (S → ∞ כש־t → 0, ו־S → ⅓ כש־t → 1 בלי להגיע).
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך