⭕ משולש ACD במעגל
שאלון 0355812019קיץ תשע"ט מועד בשאלה 7
נתון מעגל ובו קוטר AB. רדיוס המעגל הוא 10. הנקודה P נמצאת על הקוטר AB בין מרכז המעגל ובין הנקודה B.
דרך הנקודה P מעבירים אנך ל־ AB החותך את המעגל בנקודות C ו־ D.
מצא את השטח המקסימלי של המשולש ACD.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: משולש ACD חסום במעגל
הזיזו את P על הקוטר (המרחק d = OP מהמרכז). המיתר CD מאונך לקוטר. מתי שטח ACD מקסימלי?
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
נסמן d = OP (0 < d < 10), כש־O מרכז המעגל.
PC = PD = √(100 − d²) , AP = 10 + d
S(d) = ½·CD·AP = (10 + d)·√(100 − d²)
S'(d) = √(100 − d²) − d(10 + d)/√(100 − d²) = (100 − 10d − 2d²)/√(100 − d²) = 0
d² + 5d − 50 = 0 ⇒ d = 5
S′ חיובית לפני 5 ושלילית אחרי, לכן מקסימום.
S_max = 15·√75 = 75√3 ≈ 129.9
(המשולש המקסימלי שווה־צלעות, כל צלע 10√3.)
• תשובה: S_max = 75√3 ≈ 129.9
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך