🏺 נפח גוף סיבוב מקסימלי ומינימלי
בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f(x) = √(−x² + 7x) ו־ g(x) = √(14 − 2x).
גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־ x בראשית הצירים ובנקודה B, ואת גרף הפונקציה g(x) הוא חותך בנקודות B ו־ D, כמתואר בציור.
א. (1) מצא את תחומי ההגדרה של הפונקציות f(x) ו־ g(x).
(2) מצא את שיעורי ה־ x של הנקודות B ו־ D.
a הוא פרמטר המקיים 1 ≤ a ≤ 2.
השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות f(x) ו־ g(x), על ידי האנכים x = a ו־ x = a + 1 ועל ידי ציר ה־ x, מסתובב סביב ציר ה־ x.
ב. (1) חשב את a שבעבורו נפח גוף הסיבוב המתקבל הוא המקסימלי.
(2) מצא את a שבעבורו נפח גוף הסיבוב המתקבל הוא המינימלי.
אם צריך, השאר בתשובותיך שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: גוף סיבוב בין [[x = a]] ל־[[x = a + 1]]
הזיזו את a בין 1 ל־2. הרצועה ברוחב 1 מתחת לשני הגרפים מסתובבת סביב ציר ה־x. המקסימום פנימי, והמינימום בקצה.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. (1) f: −x² + 7x ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 7. g: 14 − 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 7.
(2) B: f = 0 ⇒ x = 7. D: 7x − x² = 14 − 2x ⇒ x² − 9x + 14 = 0 ⇒ x = 2 (ו־x = 7 היא B).
ב. משמאל ל־2 הגרף התחתון הוא f ומימין ל־2 הוא g. בעבור 1 ≤ a ≤ 2:
(1) V′ = 0 ⇒ a = (9 − √33)/2 ≈ 1.63 (השורש השני מחוץ לתחום). V″ = π(2a − 9) < 0 ⇒ מקסימום. V_max ≈ 29.14.
(2) המינימום בקצוות: V(1) ≈ 25.66 , V(2) = 9π ≈ 28.27 ⇒ מינימום ב־a = 1.
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך