🔺 הקטע DE המינימלי במשולש
שאלון 0355812019חורף תשע"טשאלה 8
במשולש ABC נתון: AB = 30 , AC = 20.
∢CAB = α. α הוא קבוע.
הנקודה D נמצאת על הצלע AB והנקודה E נמצאת על הצלע AC (ראה ציור).
נתון: שטח המשולש ADE שנוצר באופן הזה הוא רבע משטח המשולש ABC.
סמן את אורך הקטע AD ב־ x.
א. הבע באמצעות x את אורך הקטע AE.
ב. (1) הבע באמצעות α את האורך המינימלי של הקטע DE.
(2) הסק מתת־סעיף ב(1) את הערך של x שבעבורו היחס DE/BC הוא מינימלי. הסבר.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: הקטע DE שקוטע רבע מהמשולש
הזיזו את x = AD. כדי ששטח ADE יהיה רבע משטח ABC, AE = 150/x. אפשר לשנות גם את הזווית α.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
שטח ABC = ½·30·20·sin α = 300 sin α.
א. ½·x·AE·sin α = ¼·300 sin α ⇒ x·AE = 150:
AE = 150/x , 7.5 ≤ x ≤ 30 (כי AE ≤ 20 ו־AD ≤ 30)
ב. (1) משפט הקוסינוסים במשולש ADE:
DE² = x² + 22500/x² − 300 cos α
(DE²)' = 2x − 45000/x³ = 0 ⇒ x⁴ = 22500 ⇒ x = √150 = 5√6 ≈ 12.25
DE_min² = 150 + 150 − 300 cos α = 300(1 − cos α) ⇒ DE_min = √(300(1 − cos α)) = 10√6·sin(α/2)
(2) α קבועה, ולכן BC קבוע. היחס DE/BC מינימלי כאשר DE מינימלי: x = 5√6 ≈ 12.25.
תשובות:
• א. AE = 150/x
• ב.(1) DE_min = √(300(1 − cos α))
• ב.(2) x = 5√6
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך