📦 מלבן ושטח מתחת ל־1/x²
בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה f(x) = 1/x² בתחום x > 0, ומלבן ששתיים מצלעותיו נמצאות על הצירים והוא נמצא ברביע הראשון.
נתון: שטח המלבן הוא 4.
נסמן ב־ a את אורך צלע המלבן שנמצאת על ציר ה־ x. נתון: a ≥ 1/4.
א. הבע באמצעות a את השטח המוגבל על ידי הצירים, על ידי צלעות המלבן ועל ידי גרף הפונקציה f(x) (השטח המקווקו בציור).
ב. עבור איזה ערך של a השטח שמצאת בסעיף א הוא מקסימלי?
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: מלבן בשטח 4 מתחת ל־[[1/x²]]
הזיזו את a, הצלע שעל ציר ה־x (הגובה הוא 4/a). השטח הצבוע הוא החלק של המלבן שמתחת לגרף. שימו לב מה קורה בקצה a = ¼.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
המלבן: רוחב a, גובה 4/a. הגרף חותך את הצלע העליונה כאשר 1/x² = 4/a , כלומר ב־x = √a/2 (והתנאי a ≥ ¼ מבטיח √a/2 ≤ a).
א. השטח המקווקו: מלבן מלא מ־0 עד √a/2, ומשם השטח שמתחת לגרף עד a:
ב.
בתחום a > ¼ מתקיים 1 − 2√a < 0, לכן S יורדת לאורך כל התחום, והמקסימום בקצה:
(ב־a = ¼ הקודקוד העליון של המלבן נמצא בדיוק על הגרף, וכל המלבן מקווקו.)
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך