🟦 ריבוע ושלושה משולשים
שאלון 0355812018קיץ תשע"ח מועד אשאלה 8
ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 6 ס"מ.
K ו־ L הן נקודות על הצלע AB.
נתון כי הישרים CK ו־ DL חותכים זה את זה בנקודה E, הנמצאת מחוץ לריבוע ABCD (ראה ציור).
נסמן: LK = x.
א. הבע באמצעות x את גובה המשולש KLE.
ב. עבור איזה ערך של x סכום שטחי המשולשים BCK, ADL ו־ KLE הוא מינימלי? נמק.
תוכל להשאיר שורש בתשובתך.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: ריבוע ושלושה משולשים
הזיזו את x = LK. הישרים CK ו־DL נפגשים ב־E מתחת לריבוע. ככל ש־x גדל, E מתרחקת והמשולש KLE גדל, אבל שני המשולשים האחרים קטנים.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. המשולשים KLE ו־CDE דומים (LK ∥ DC). נסמן את גובה KLE ב־h:
h/(h + 6) = x/6 ⇒ h = 6x/(6 − x)
ב. AL + KB = 6 − x, ולשני המשולשים ADL, BCK גובה 6:
S_ADL + S_BCK = 3·AL + 3·KB = 3(6 − x)
S(x) = 3(6 − x) + ½·x·6x/(6 − x) = 18 − 3x + 3x²/(6 − x) , 0 < x < 6
S'(x) = −3 + 3(12x − x²)/(6 − x)² = 0 ⇒ 12x − x² = (6 − x)² ⇒ x² − 12x + 18 = 0
x = 6 − 3√2 ≈ 1.757 (השורש 6 + 3√2 מחוץ לתחום)
S′ שלילית לפני ונעשית חיובית אחרי, לכן מינימום.
תשובות:
• א. h = 6x/(6 − x)
• ב. x = 6 − 3√2 ≈ 1.76
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך