📐 סכום ניצבי המשולש AOB
שאלון 0355812018חורף תשע"חשאלה 8
נתונה הפונקציה f(x) = 1/x³.
העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = t.
נתון: 1 ≤ t ≤ 5.
המשיק חותך את ציר ה־ x בנקודה A ואת ציר ה־ y בנקודה B. הנקודה O היא ראשית הצירים.
א. מצא את שיעור ה־ x של נקודת ההשקה שעבורו סכום ניצבי המשולש AOB הוא מינימלי.
ב. מצא את שיעור ה־ x של נקודת ההשקה שעבורו סכום ניצבי המשולש AOB הוא מקסימלי.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: המשיק ל־[[1/x³]] והמשולש AOB
הזיזו את נקודת ההשקה t בין 1 ל־5. המינימום של סכום הניצבים פנימי, והמקסימום בקצה התחום!
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
f′(x) = −3/x⁴. המשיק בנקודה (t, 1/t³):
y = −(3/t⁴)(x − t) + 1/t³
B (x = 0): y = 4/t³. A (y = 0): x = t + t/3 = 4t/3.
L(t) = OA + OB = 4t/3 + 4/t³ , 1 ≤ t ≤ 5
L'(t) = 4/3 − 12/t⁴ = 0 ⇒ t⁴ = 9 ⇒ t = √3
א. ב־√3 הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום ב־t = √3 ≈ 1.73 (L = 16/(3√3)·... ≈ 3.08).
ב. המקסימום בקטע סגור הוא באחד הקצוות: L(1) = 4/3 + 4 ≈ 5.33 , L(5) = 20/3 + 4/125 ≈ 6.70. מקסימום ב־t = 5.
תשובות:
• א. x = √3
• ב. x = 5
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך