🔁 הקטע AB בין f ל־f′
לפניך הגרפים של הפונקציות f(x) ו־ f′(x).
א. התאם בין הגרפים I ו־ II לבין הפונקציות f(x) ו־ f′(x). נמק.
נתון: f′(x) = x(x + b)³. b > 1 הוא פרמטר.
לגרף הפונקציה f(x) יש נקודת פיתול ב־ x = −1.
ב. מצא את b.
C ו־ D הן נקודות החיתוך של הפונקציות f(x) ו־ f′(x) בתחום x < 0, כמתואר בציור.
הנקודות A ו־ B נמצאות על הגרפים I ו־ II בהתאמה, כך שהישר AB מאונך לציר ה־ x.
נתון: x_C < x_A < x_D , x_C = −4 , x_D = 1 − √5.
ג. מצא את שיעור ה־ x של הנקודות A ו־ B שעבורו אורך הקטע AB הוא מקסימלי (אפשר לפתור את הסעיף בלי למצוא את הפונקציה f(x)).
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: [[f]] ו־[[f′]] והקטע AB
הזיזו את x בין x_C = −4 ל־x_D = 1 − √5. הקטע AB אנכי בין הגרף של f (כחול) לגרף של f′ = x(x + 4)³ (ורוד).
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. גרף f′ מתאפס בנקודות הקיצון של f, ולכן ההתאמה נקבעת לפי נקודות האפס של הגרף האחד מול נקודות הקיצון של האחר.
ב. f″(x) = (x + b)³ + 3x(x + b)² = (x + b)²(4x + b). בנקודת פיתול ב־x = −1:
ג. AB = |f(x) − f′(x)|. בין C ל־D ההפרש לא מחליף סימן, לכן נגזור את h = f − f′:
בתחום −4 < x < 1 − √5 ≈ −1.24 נמצא רק x = −2, ובו h′ מחליפה סימן: AB מקסימלי.
(בשביל היישומון: f(x) = x⁵/5 + 3x⁴ + 16x³ + 32x² − 51.2, ואז AB(−2) = 6.4.)
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך