📐 סכום הקטעים AB ו־AC
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) = 2√(x² − 1).
נתון הישר y = 3x − 3.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ב. מצאו את שיעורי שתי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הישר הנתון.
הנקודה A נמצאת על גרף הפונקצייה f(x) בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב.
דרך הנקודה A העבירו שני ישרים:
ישר המקביל לציר ה־ y וחותך את הישר הנתון בנקודה B.
ישר המקביל לציר ה־ x וחותך את הישר הנתון בנקודה C.
נסמן ב־ t את שיעור ה־ x של הנקודה A.
ג. (1) הביעו באמצעות t את אורך הקטע AB.
(2) הביעו באמצעות t את אורך הקטע AC.
ד. מצאו את הערך של t שבעבורו סכום אורכי הקטעים AB ו־ AC הוא מקסימלי.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: [[AB + AC]] בין הגרף לישר
הזיזו את t בין 1 ל־2.6. מ־A יורד קטע אנכי לישר (AB) ויוצא קטע אופקי לישר (AC).
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. x² − 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ −1 או x ≥ 1.
ב. 2√(x² − 1) = 3x − 3 (צריך 3x − 3 ≥ 0): 4(x² − 1) = 9(x − 1)² ⇒ (x − 1)(4(x + 1) − 9(x − 1)) = 0 ⇒ x = 1 או x = 2.6.
נקודות החיתוך: (1, 0) , (2.6, 4.8).
ג. בין הנקודות הגרף מעל הישר. A = (t, 2√(t² − 1)) , 1 < t < 2.6.
(2) C על הישר באותו גובה: 3x − 3 = 2√(t² − 1) ⇒ x_C = (2√(t² − 1) + 3)/3:
ד.
L′ חיובית לפני ושלילית אחרי, לכן מקסימום: L = 4 − 4√5/3 ≈ 1.02.
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך