🎢 הקטע AB בין עקומה לישר
בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקצייה f(x) = (4x − 2)³ והישר y = 3x + b.
b הוא פרמטר חיובי.
הנקודה A נמצאת על גרף הפונקצייה f(x) כך ששיעור ה־ x שלה קטן משיעור ה־ x של נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הישר הנתון.
הנקודה B נמצאת על הישר הנתון כך שהקטע AB מקביל לציר ה־ x.
נסמן ב־ t את שיעור ה־ x של הנקודה A.
נתון: 0 ≤ t ≤ 0.7.
א. הביעו באמצעות b ו־ t את שיעור ה־ x של הנקודה B.
ב. (1) מצאו את הערך של t שבעבורו אורך הקטע AB הוא מינימלי.
(2) מצאו את הערך של t שבעבורו אורך הקטע AB הוא מקסימלי.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: הקטע האופקי AB בין [[(4x − 2)³]] לישר
הזיזו את t בתחום 0 ≤ t ≤ 0.7 ואת b. שימו לב: בתחום הזה המקסימום של AB הוא בקצה, ב־t = 0, ולא בנקודה שבה הנגזרת מתאפסת!
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. A = (t, (4t − 2)³). B על הישר באותו גובה: 3x + b = (4t − 2)³:
ב. משמאל לנקודת החיתוך הגרף מתחת לישר, ולכן B משמאל ל־A:
AB″(t) = −32(4t − 2): ב־t = 0.375 חיובית (מינימום), ב־t = 0.625 שלילית (מקסימום מקומי).
ערכי AB − b/3: ב־t = 0: 8/3 ≈ 2.667 · ב־0.375: 0.417 · ב־0.625: 0.583 · ב־0.7: 0.529.
(1) מינימום: t = 0.375.
(2) מקסימום (בתחום הסגור): בקצה, t = 0. ה־0.625 הוא רק מקסימום מקומי.
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך