🍕 גזרת עיגול: השטח האפור
נתונה גזרת עיגול BAC שהיא 1/6 מעיגול שרדיוסו R ומרכזו A.
מנקודה כלשהי P, הנמצאת על הקשת BC, הורידו אנך ל־ AC החותך את הרדיוס AC בנקודה L (ראה ציור).
השטח האפור שבציור הוא השטח הכלוא בין הקשת BC ובין הרדיוסים AB ו־ AP, והקטעים LP ו־ LC.
נתון שהשטח האפור המינימלי הוא 24π − 36.
א. (1) מצא את הזווית PAC שעבורה השטח האפור שמתקבל הוא מינימלי.
(2) מצא את R.
ב. מהו השטח המקסימלי של המשולש APL? נמק.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: גזרת עיגול של [[60°]]
הזיזו את P על הקשת (הזווית θ = ∢PAC). השטח האפור הוא כל הגזרה פחות המשולש APL. כאן R = 12.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
נסמן θ = ∢PAC (0 < θ < 60°). השטח האפור = שטח הגזרה כולה פחות שטח המשולש APL.
א. (1) S′ = −(R²/2)·cos 2θ = 0 ⇒ θ = 45°. לפני 45° S′ שלילית ואחרי חיובית, לכן מינימום.
(2) S_min = πR²/6 − R²/4 = 24π − 36 ⇒ R²/6 = 24 , R²/4 = 36 ⇒ R² = 144 ⇒ R = 12.
ב. שטח APL = (R²/4)·sin 2θ מקסימלי כאשר sin 2θ = 1, כלומר באותה זווית 45° (כשהאפור מינימלי, המשולש מקסימלי).
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך