📐 מכפלה BC·AD² מקסימלית
שאלון 0355812016קיץ תשע"ו מועד בשאלה 8
במשולש ישר זווית ABC (∢ABC = 90°) אורך היתר הוא k ס"מ (k הוא פרמטר).
הניצב AB הוא גם יתר במשולש ADB, שהוא שווה שוקיים וישר זווית (∢ADB = 90°).
א. סמן AB = x והבע את BC באמצעות x ו־ k.
ב. נתון כי הערך המקסימלי של המכפלה BC · AD² הוא 3√3.
מצא את שטח המשולש ADB (ערך מספרי), כאשר המכפלה BC · AD² היא מקסימלית.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: [[BC·AD²]] במשולש ישר זווית
הזיזו את x = AB. הניצב BC נקבע מהיתר k, והמשולש ADB (שווה שוקיים וישר זווית) נבנה על AB. כאן k = 3, הערך שמתקבל מהנתון 3√3.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. במשולש ABC (∢B = 90°, יתר AC = k):
BC = √(k² − x²)
ב. ADB שווה שוקיים וישר זווית עם יתר AB = x ⇒ AD = x/√2 , AD² = x²/2.
M(x) = BC·AD² = (x²/2)·√(k² − x²)
M'(x) = x√(k² − x²) − x³/(2√(k² − x²)) = x(2k² − 3x²)/(2√(k² − x²)) = 0 ⇒ x² = 2k²/3
M_max = (k²/3)·√(k²/3) = k³/(3√3) = 3√3 ⇒ k³ = 27 ⇒ k = 3
ואז x² = 6, ושטח המשולש ADB:
S_ADB = ½·AD² = ½·(x²/2) = x²/4 = 6/4 = 1.5
תשובות:
• א. BC = √(k² − x²)
• ב. S_ADB = 1.5 סמ"ר (עם k = 3, x = √6)
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך