↔️ הקטע CD בין היפרבולה לישר
נתונה הפונקציה f(x) = (x − 1)/(x + 1) (ראה ציור).
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה, ואת האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.
ב. העבירו ישר המקביל לציר ה־ x.
הישר חותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה C ואת הישר y = 2x בנקודה D.
נסמן את שיעור ה־ x של הנקודה C ב־ t.
מצא מה צריך להיות הערך של t, כדי שהאורך של הקטע CD יהיה מינימלי:
(1) עבור t > −1.
(2) עבור t < −1.
ג. מצא את האורך המינימלי של הקטע CD עבור כל t ≠ −1.
📄 השאלה המקורית מהבגרות (כולל הסרטוט)
🎛️ יישומון: הקטע CD בין היפרבולה לישר [[y = 2x]]
הזיזו את t, שיעור ה־x של C. יש שני ענפים: t > −1 ו־t < −1. הכפתור הירוק קופץ למינימום בענף הימני, והכתום בענף השמאלי.
✅ הפתרון (לחצו לפתיחה)
א. תחום: x ≠ −1. אסימפטוטות: x = −1 , y = 1.
ב. C = (t, (t − 1)/(t + 1)). D על y = 2x באותו גובה: x_D = (t − 1)/(2(t + 1)).
(1) t > −1: e(0) = ½ > 0 , ו־e″ = 2/(t + 1)³ > 0 ⇒ מינימום: t = 0 , CD = ½.
(2) t < −1: e(−2) = −2 − 1.5 = −3.5. שם e″ < 0 ו־e שלילית בכל הענף (ערכה המקסימלי −3.5), לכן |e| מינימלי ב־t = −2: CD = 3.5.
ג. האורך המינימלי לכל t ≠ −1 הוא הקטן מבין השניים: ½.
מקור: ארכיון שאלוני הבגרות של משרד החינוך